ทฤษฎีการเรียนรู้ : การประมวลสารสนเทศ

ทฤษฎีประมวลสารสนเทศ (Information Processing)

ความเป็นมา และแนวคิดของทฤษฎีประมวลสารสนเทศ

ในระหว่างปี ค.ศ. 1950-1960 ทฤษฎีการเรียนรู้ส่วนใหญ่มักจะเป็นการทดลองที่ให้หนูวิ่งในเขาวงกต ซึ่งนักจิตวิทยาหลายท่านมองเห็นว่าการทดลองดังกล่าวไม่สามารถที่จะช่วยในการอธิบายเกี่ยวกับการเรียนรู้ที่ยุ่งยากซับซ้อนของมนุษย์ได้ 
        นักจิตวิทยากลุ่มหนึ่งของพุทธิปัญญามองว่าการเรียนรู้ เป็นการเปลี่ยนแปลงปริมาณความรู้ของผู้เรียนทั้งในด้านปริมาณ และวิธีการประมวลสารสนเทศ แนวคิดดังกล่าว เรียกว่า  ทฤษฎีประมวลสารสนเทศ (Information Processing Theory)ทฤษฎีนี้ให้ความสนใจกับธรรมชาติของผู้เรียนซึ่งเป็นผู้ที่ active (มีความตื่นตัวในการเรียน)
         หรือกล่าวได้ว่า การแสดงพฤติกรรมหรือการเรียนรู้จะเกิดจากความต้องการของผู้เรียน ซึ่งการเรียนรู้นั้นเป็นผลเนื่องมาจากปฏิสัมพันธ์สิ่งเร้าที่มาจากสิ่งแวดล้อม ได้แก่ ข้อมูลหรือความรู้ที่ต้องการเรียน กับ ตัวผู้เรียน

              นักจิตวิทยากลุ่มประมวลสารสนเทศ เชื่อว่า การเรียนรู้เป็นการเปลี่ยนแปลงความรู้ของผู้เรียนทั้งทางด้านปริมาณและคุณภาพ หรือกล่าวได้ว่า นอกจากผู้เรียนจะสามารถเรียนรู้สิ่งต่างๆมีปริมาณที่เพิ่มขึ้นแล้ว ผู้เรียนยังสามารถ จัดระเบียบ เรียบเรียง รวบรวม เพื่อให้สามารถเรียกความรู้เหล่านั้นมาใช้ได้ในเวลาที่ต้องการ 

         อีกทั้งยังสามารถควบคุมอัตราความเร็วในการเรียนรู้ตลอดจนขั้นตอนของการเรียนได้ โดยเน้นที่จะศึกษาเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงกระบวนการคิด (cognitive operation) แต่ทฤษฎีนี้ มีความคิดเห็นที่แตกต่างกับ แนวคิด

         เกี่ยวกับ การพัฒนาตามลำดับขั้นทางสติปัญญาของเพียเจต์ (Piaget) แต่เชื่อว่ากระบวนการคิด(cognitive process) และความสามารถ (abilities) จะมีแนวโน้มที่จะพัฒนาเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ เช่น เด็กสามารถเรียนรู้ได้เร็วขึ้น จำได้มากขึ้น และสามารถปฏิบัติงานที่ซับซ้อนเพิ่มขึ้นได้ในขณะที่เจริญเติบโตขึ้น

แนวคิดกลุ่มทฤษฎีประมวลสารสนเทศ (Information Processing)

ทฤษฎีประมวลสารสนเทศ จะเป็นการอธิบายเกี่ยวกับ การได้มาซึ่งความรู้ (acquire) สะสมความรู้ (store)

และการะลึกได้ (recall) ตลอดจนการใช้ข่าวสารข้อมูล หรือกล่าวได้ว่า เป็นทฤษฎีที่พยายามอธิบายให้เข้าใจว่า มนุษย์จะมีวิธีการรับข้อมูลข่าวสาร หรือความรู้ใหม่อย่างไร เมื่อรับมาแล้วจะมีวิธีการประมวลข้อมูลข่าวสาร และเก็บสะสมไว้ในลักษณะใด ตลอดจนจะสามารถดึงความรู้นั้นมาใช้ได้อย่างไร 

        ทฤษฎีนี้จัดอยู่ในกลุ่มพุทธิปัญญา (Cognitivism) โดยให้ความสนใจเกี่ยวกับกระบวนการคิด การให้เหตุผลของผู้เรียน ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีการเรียนรู้ของกลุ่มพฤติกรรมนิยม (Behaviorism) ที่มุ่งเน้นพฤติกรรมที่สังเกตได้เท่านั้น โดยมิได้สนใจกับกระบวนการคิดหรือกิจกรรมทางสติปัญญาของมนุษย์ (mental activities) ซึ่งเป็นสิ่งที่นักจิตวิทยากลุ่มพุทธิปัญญาตระหนักถึงความจำเป็นที่จะต้องศึกษากระบวนการดังกล่าวซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่สามารถสังเกตได้ โดยใช้กระบวนการทางวิทยาศาสตร์

นักทฤษฎีประมวลสารสนเทศมุ่งเน้นที่จะศึกษาในเรื่องต่อไปนี้ คือ

........................1. ความใส่ใจ (attention)

........................2. กลยุทธ์การเรียนรู้ (learning strategies)

........................3. พื้นฐานความรู้(knowledge base)

   4. ความรู้เกี่ยวกับการรู้คิดของตนเอง (metacognition)

การประมวลผลสารสนเทศ (information processing) โดยทั่วไปแล้ว หมายถึง การกระทำใดๆก็ตามที่ทำให้สารสนเทศเปลี่ยนไป และสามารถสังเกตการเปลี่ยนแปลงได้โดยผู้สังเกต (observer) กล่าวคือ เป็นกระบวนการและหรือวิธีการ ที่ทำให้ข้อมูลข่าวสารความรู้ใดก็ตาม แปลรูปไปเป็นข้อมูลชนิดใหม่ที่ให้ความหมายหรือคงรูปแบบเดิมเอาไว้ เช่น การเจริญเติบโตของต้นไม้ ได้ถูกสังเกตการณ์และบันทึกไว้ เป็นไฟล์คอมพิวเตอร์แบบตารางเพื่อจัดเก็บข้อมูลทางสถิติของการเจริญเติบโตของต้นไม้ และนำข้อมูลนั้นเปลี่ยนไปเป็นกราฟแสดงให้เห็นถึงอัตราการเจริญเติบโต

การประมวลผลสารสนเทศ ยังหมายถึงการประมวลผลข้อมูลสารสนเทศที่ถูกจัดเก็บไว้ในรูปของไฟล์ในคอมพิวเตอร์ ได้ถูกอ่านขึ้นมาจากที่จัดเก็บ (storage) เพื่อเอาไปประมวลผ่านหน่วยประมวลผล (processor) เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ออกมาและแสดงผลออกมาในหน่วยแสดงผลทางหน้าจอหรือทางพรินเตอร์ เพื่อให้ผู้ใช้ได้รับข้อมูลที่ต้องการได้อย่างถูกต้อง

              นอกจากนั้น การประมวลผลสารสนเทศ ยังมีความหมายในเชิงจิตวิทยาว่าด้วยเรื่องกระบวนการรับรู้ ซึ่งเกี่ยวกับการศึกษาเพื่อให้เข้าใจวิธีการคิดของมนุษย์

 ทฤษฎีประมวลสารหรือทฤษฎีกระบวนการทางสมองในการประมวลผลข้อมูล เป็นทฤษฎีที่สนใจศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการพัฒนาสติปัญญาของมนุษย์ โดยให้ความสนใจเกี่ยวกับการทำงานของสมอง ทฤษฎีนี้เริ่มได้รับความนิยมมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1950 จวบจนปัจจุบัน โดยมีผู้เรียกชื่อในภาษาไทยหลายชื่อ เช่น ทฤษฎีประมวลสารข้อมูลสาร  ทฤษฎีการประมวลผลข้อมูลสารสนเทศ ในที่นี้ จะใช้เรียกว่า ทฤษฎีการประมวลสาร

ทฤษฎีประมวลผลสาร (Information Processing Theory) มีหลัก ทฤษฎีการเรียนรู้ คือ

               ทฤษฎีประมวลสารหรือทฤษฎีกระบวนการทางสมองในการประมวลผลข้อมูล เป็นทฤษฎีที่สนใจศึกษาเกี่ยวกับกระบวนการพัฒนาสติปัญญาของมนุษย์ โดยให้ความสนใจเกี่ยวกับการทำงานของสมอง ทฤษฎีนี้เริ่มได้รับความนิยมมาตั้งแต่ปี ค.ศ. 1950 จวบจนปัจจุบัน  ทฤษฎีนี้มีแนวคิดว่า การทำงานของสมองมีความคล้ายคลึงกับการทำงานของเครื่องคอมพิวเตอร์ คลอสเมียร์ (Klausmeier,1985:108) ได้อธิบายการเรียนรู้ของมนุษย์โดยเปรียบเทียบการทำงานของคอมพิวเตอร์กับการทำงานของสมอง ซึ่งมีการทำงานเป็นขั้นตอนดังนี้ คือ

1.      การรับข้อมูล (Input) โดยผ่านทางอุปกรณ์หรือเครื่องรับข้อมูล

2.      การเข้ารหัส (Encoding) โดยอาศัยชุดคำสั่งหรือซอฟต์แวร์ (Software)

3.      การส่งข้อมูลออก (Output) โดยผ่านทางอุปกรณ์

             คลอสเมียร์ (Klausmeier,1985:105) ได้อธิบายการประมวลผลข้อมูลโดยเริ่มต้นจากการที่มนุษย์รับสิ่งเร้าเข้ามาทางประสาทสัมผัสทั้ง 5 สิ่งเร้าที่เข้ามาจะได้รับการบันทึกไว้ในความจำระยะสั้น ซึ่งการบันทึกนี้จะขึ้นอยู่กับองค์ประกอบ 2 ประการ คือ การรู้จัก (Recognition) และความสนใจ (Atention) ของบุคคลที่รับสิ่งเร้า บุคคลจะเลือกรับสิ่งเร้าที่ตนรู้จักหรือมีความสนใจ สิ่งเร้านั้นจะได้รับการบันทึกลงในความจำระยะสั้น (Short-Term Memory) ซึ่งดำรงคงอยู่ในระยะเวลาที่จำกัดมาก แต่ละบุคคลมีความสามารถในการจำระยะสั้นที่จำกัด คนส่วนมากจะสามารถจำสิ่งที่ไม่เกี่ยวข้องกันได้เพียงครั้งละ 7 ± 2 อย่างเท่านั้น ในการทำงานที่จะเป็นต้องเก็บข้อมูลไว้ใช้ชั่วคราว อาจจำเป็นต้องใช้เทคนิคต่าง ๆ ในการจำช่วย เช่น การจัดกลุ่มคำ หรือการท่องซ้ำ ๆ กันหลายครั้ง ซึ่งจะสามารถช่วยให้จดจำสิ่งนั้นไว้ใช้งานได้ การเก็บข้อมูลไว้ใช้ในภายหลัง สามารถทำได้โดยข้อมูลนั้นจำเป็นต้องได้รับการประมวลและเปลี่ยนรูปโดยการเข้ารหัส (Encoding) เพื่อนำไปเก็บไว้ในความจำระยะยาว (Long Term Memory) ซึ่งอาจต้องใช้เทคนิคต่าง ๆ เข้าช่วย เช่น การท่องซ้ำหลาย ๆ ครั้ง หรือการทำข้อมูลให้มีความหมายกับตนเอง โดยการสัมพันธ์สิ่งที่เรียนรู้สิ่งใหม่กับสิ่งเก่าที่เคยเรียนรู้มาก่อน ซึ่งเรียกว่า เป็นกระบวนการขยายความคิด (Elaborative Operations Process) ความจำระยะยาวนี้มี 2 ชนิด คือ ความจำที่เกี่ยวกับภาษา (Semantic) และความจำที่เกี่ยวกับเหตุการณ์ (Affective Memory) เมื่อข้อมูลข่าวสารได้รับการบันทึกไว้ในความจำระยะยาวแล้ว บุคคลจะสามารถเรียกข้อมูลต่าง ๆ ออกมาใช้ได้ ซึ่งในการเรียกข้อมูลออกมาใช้ บุคคลจำเป็นต้องถอดรหัสข้อมูล (Decoding) จากความจำระยะยาวนั้น และส่งต่อไปสู่ตัวก่อกำเนิดพฤติกรรมตอบสนอง ซึ่งจะเป็นแรงขับหรือกระตุ้นให้บุคคลมีการเคลื่อนไหว หรือการพูดสนองตอบต่อสิ่งแวดล้อมต่าง ๆ กระบวนการของการประมวลข้อมูลของมนุษย์โดยคลอสเมียร์

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีในการเรียนการสอน

           ในการจัดการเรียนการสอนนั้นควรตระหนักถึงสิ่งที่ผู้เรียนเคยรู้มาก่อนที่ถูกบันทึกเก็บไว้ในความจำระยะยาว ซึ่งมีอิทธิพลกับการเรียนรู้ใหม่ (Siegler, 1983) ดังนั้นเพื่อช่วยให้ผู้เรียนสามารถเก็บบันทึกความรู้ต่างๆที่ได้เรียนรู้ไว้ในความจำระยะยาวและสามารถเรียกกลับมาใช้ได้นั้น
        ผู้สอนควรพยายามสร้างสะพานที่จะช่วยให้ผู้เรียนสามารถเชื่อมโยงระหว่างสิ่งที่ผู้เรียนเคยรู้มาก่อนกับสิ่งที่จะเรียนรู้ใหม่ โดยวิธีการต่างๆที่กล่าวมาแล้ว เช่น การทบทวน การทำซ้ำๆ(Rehearsal) การเรียบเรียงและรวบรวม(Organize) การขยายความ หรือขยายความคิด(Elaborate) เป็นต้น

        เช่น การเรียนเรื่องรูปร่างลักษณะของจำนวนศูนย์ 0 ของเด็กระดับอนุบาล ซึ่งเป็นสิ่งที่ไม่เคยเรียนรู้มาก่อน ถ้าผู้สอนช่วยเชื่อมโยงเข้ากับสิ่งที่ผู้เรียนเคยรู้จัก รูปร่างของศูนย์ 0 กับสิ่งที่ผู้เรียนเคยรู้จัก เช่น ไข่ ลูกโป่ง ลูกปิงปอง หรืออื่นๆที่ผู้เรียนเคยรู้จักมาก่อน อาจจะช่วยให้ผู้เรียนสามารถเกิดการเรียนรู้ในเรื่องดังกล่าวได้ดียิ่งขึ้น

ทฤษฎีที่ดังกล่าวมาข้างต้น นำมาประยุกต์กับการเรียนการสอนหลายประการเพื่อให้เกิดประโยชน์ต่อหลายทางดังนี้

1.      เนื่องจากการรู้จัก (Recognition) มีผลต่อการรับรู้สิ่งใดสิ่งหนึ่ง หากเรารู้จักสิ่งนั้นมาก่อน เราก็มักจะเลือกรับรู้สิ่งนั้น และนำไปเก็บไว้ในหน่วยความจำต่อไป การที่บุคคลจะรู้จักสิ่งใด ก็ย่อมหมายความว่า บุคคลรู้หรือเคยมีประสบการณ์กับสิ่งนั้นมาก่อน ดังนั้น การนำเสนอสิ่งเร้าที่ผู้เรียนรู้จักหรือมีข้อมูลอยู่ แล้วจะสามารถช่วยให้ผู้เรียนหันมาใส่ใจและรับรู้สิ่งนั้น ซึ่งผู้สอนสามารถเชื่องโยงไปถึงสิ่งใหม่ที่เกี่ยวข้องกับสิ่งนั้นได้

2.      เนื่องจากความใส่ใจ (Attention) เป็นองค์ประกอบสำคัญต่อการรับข้อมูลเข้ามาไว้ในความจำระยะสั้น ดังนั้น ในการจัดการเรียนการสอน จึงควรจัดสิ่งเร้าในการเรียนรู้ให้ตรงกับความสนใจของผู้เรียน เพราะจะช่วยให้ผู้เรียนใส่ใจและรับรู้สิ่งนั้น และนำไปเก็บบันทึกไว้ในความจำระยะสั้นต่อไป

3.      เนื่องจากข้อมูลที่ผ่านการรับรู้มาแล้ว จะถูกนำไปเก็บไว้ในความจำระยะสั้น ซึ่งนักจิตวิทยาการศึกษาพบว่า จะคงอยู่เพียง 15-30 วินาทีเท่านั้น ดังนั้น หากต้องการที่จะจำสิ่งนั้นนานกว่านี้ ก็จำเป็นต้องใช้วิธีการต่าง ๆ ช่วย เช่น การท่องซ้ำกันหลาย ๆ ครั้ง หรือการจัดสิ่งที่จำให้เป็นหมวดหมู่ ง่ายแก่การจำ เป็นต้น

4.      หากต้องการจะให้ผู้เรียนจดจำเนื้อหาสาระใด ๆ ได้เป็นเวลานาน สาระนั้นจะต้องได้รับการเข้ารหัส (Encoding) เพื่อนำไปเข้าหน่วยความจำระยะยาว วิธีการเข้ารหัสสามารถทำได้หลายวิธี เช่น การท่องจำซ้ำ ๆ การทบทวน หรือการใช้กระบวนการขยายความคิด (Elaborative Operations Process) ซึ่งได้แก่ การเรียบเรียง ผสมผสาน ขยายความ และการสัมพันธ์ความรู้ใหม่กับความรู้เดิม

5.      ข้อมูลที่ถูกนำไปเก็บไว้ในหน่วยความจำระยะสั้นหรือระยะยาวแล้ว สามารถเรียกออกมาใช้งานได้โดยผ่าน “Effector” ซึ่งเป็นตัวกระตุ้นพฤติกรรมทางวาจาหรือการกระทำ (Vocal and Motor Response Generator) ซึ่งทำให้บุคคลแสดงความคิดภายในออกเป็นพฤติกรรมที่สังเกตเห็นได้ การที่บุคคลไม่สามารถใช้ประโยชน์จากข้อมูลที่เก็บไว้ได้ อาจจะเป็นเพราะไม่สามารถเรียกข้อมูลให้ขึ้นถึงระดับจิตสำนึกได้ (Conscious Level) หรือเกิดการลืมขึ้น

6.      เนื่องจากกระบวนการต่าง ๆ ของสมองได้รับการควบคุมโดยหน่วยบริหารควบคุมอีกชั้นหนึ่ง (Executive Control Of Information Processing) ซึ่งเปรียบได้กับโปรแกรมสั่งงาน ซึ่งเป็น “Software” ของเครื่องคอมพิวเตอร์ ดังนั้น การที่ผู้เรียนรู้ตัวและรู้จักการบริหารควบคุมกระบวนการทางปัญหาหรือกระบวนการคิดของตนก็จะสามารถทำให้บุคคลนั้นสามารถสั่งงานให้สมองกระทำการต่าง ๆ อันจะทำให้ผู้เรียนประสบความสำเร็จในการเรียนรู้ได้ เช่น หากผู้เรียนรู้ตัวว่า เรียนวิชาใดวิชาหนึ่งไม่ได้ดี เพราะไม่ชอบครูที่สอนวิชานั้น นักเรียนก็อาจหาทางแก้ปัญหานั้นได้ โดยอาจสร้างแรงจูงใจให้กับตนเอง หรือใช้เทคนิคกลวิธีต่าง ๆ เข้าช่วย

การแจกแจงปกติ (The Normal Curve)

สมการการแจกแจงปกติคือ

สังเกตค่า  และ  ในสูตรนั้นเป็นการนำเสนอค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานแทน  และ s เพราะว่าสูตรนี้อยู่ในรูปแบบเชิงทฤษฎี ถ้าเรารู้ค่า N,  และ  แล้วนำค่า X แต่ละตัวมาแทนค่าในสูตรและคำนวณได้ค่า Y ถ้าเรานำคู่ของค่า X และ Y มาสร้างกราฟ เราจะได้โค้งปกติที่มีค่าเฉลี่ย  และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน  และพื้นที่ N

โค้งปกตินั้นสามารถเขียนได้ในรูปของคะแนนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐานมีค่าเฉลี่ย 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 1 ดังนั้น  = 0 และ  = 1 พื้นที่ภายใต้โค้งจะมี N = 1 สามารถเขียนได้ดังสูตร

z คือคะแนนมาตรฐานบนแกน X และมีค่าเท่ากับ (X - )/ คะแนน z คือความเบี่ยงเบนในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานบนเส้นตรงของโค้งจากค่าเฉลี่ย 0 ถ้าเบี่ยงเบนไปทางขวาของค่าเฉลี่ยจะมีค่าเป็นบวก และเบี่ยงเบนไปทางซ้ายมีค่าเป็นลบ โค้งนี้มีพื้นที่ใต้โค้งเป็น 1 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็น 1 ความเปลี่ยนแปลงของ z ในสูตรคำนวณ ขึ้นอยู่กับความแตกต่างของค่า y ที่ได้จากการคำนวณ เมื่อ z = 0,  = 0.3989 ซึ่ง e⁰ = 1 ค่าอะไรก็ตามยกกำลัง 0 จะได้เท่ากับ 1 ดังนั้น ความสูงจากค่าเฉลี่ยจนถึงยอดของโค้งปกติมีค่าเท่ากับ 0.3989 สำหรับ z = +1, y = 0.2420 และ z = +2, y = 0.0540 ในทางกลับกัน ความสูงของโค้งปกติสามารถคำนวณได้จากค่า z หรืออาจจะเปิดจากตารางการแจกแจงปกติก็ได้ ตารางนี้แสดงความแตกต่างของค่า y เมื่อค่า z แตกต่างกัน จะแสดงพื้นที่ภายใต้โค้งระหว่างค่าเฉลี่ยและความแตกต่างของค่า z

รูปร่างโดยทั่วไปของโค้งปกติแสดงได้ดังภาพประกอบ 1
ภาพประกอบ 1 โค้งปกติที่แสดงความสูงของโค้ง ณ ค่า z ที่แตกต่างกัน

โค้งปกติมีลักษณะดังนี้

1. โค้งมีลักษณะสมมาตร ค่าเฉลี่ย ฐานนิยม และมัธยมฐานมีค่าเท่ากัน

2. จุดที่สูงที่สุดของโค้งจะอยู่ที่ค่าเฉลี่ย มี z = 0 มีความสูง = 0.3989

3. ปลายทั้ง 2 ข้างของโค้งจะไม่สัมผัสแกนนอนแต่จะมีค่าเป็นอนันต์ (infinity)

4. จุดที่มีการเปลี่ยนแปลงมากที่สุดคือจุด -1 และ +1 ของความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ยที่อยู่ต่ำและเหนือกว่าค่าเฉลี่ย

5. จะมีพื้นที่ประมาณ 68% ที่อยู่ใต้โค้งระหว่าง -1 และ +1 ของความเบี่ยงเบนจากค่าเฉลี่ย

6. ที่จุด z = 1.96 จะมีพื้นที่ใต้โค้งรวมได้ 95% และที่ z = 2.58 จะมีพื้นที่ใต้โค้งรวมได้ 99% ดังนั้นพื้นที่ที่เหลืออยู่อีก 5% และ 1% ตามลำดับจะเป็นพื้นที่ที่เหลืออยู่บริเวณปลายโค้ง
พื้นที่ภายใต้โค้งปกติ
มีความจำเป็นที่จะต้องหาสัดส่วนของพื้นที่ภายใต้โค้งปกติระหว่างจุดบนแกน X ที่แตกต่างกัน โดยต้องการทราบว่า 1) สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่างจุดที่เป็นค่าเฉลี่ยและจุดอื่น ๆ ที่อยู่เหนือและต่ำกว่าค่าเฉลี่ย 2) สัดส่วนของพื้นที่รวมทั้งหมดที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าจุดบนเส้นแกน X สัดส่วนของพื้นที่ทั้งหมดระหว่างจุด 2 จุดบนเส้นแกน X

ตารางการแจกแจงปกติแสดงสัดส่วนของพื้นที่ระหว่าง z = 0 ถึง z = 3 สมมติว่าเราต้องการหาพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 0 และ z = +1 เราเปิดตารางการแจกแจงปกติ จะได้ค่า 0.3413 ประมาณ 34.13% ของพื้นที่รวมทั้งหมดอยู่ระหว่าง  กับ  + 1 สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้ง z = 0 และ z = 2 คือ .4772 ดังนั้นมีพื้นที่ประมาณ 47.72% ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดอยู่ระหว่าง  กับ  + 2 สัดส่วนของพื้นที่ระหว่าง z = 0 กับ z = 3 คือ .4987 หรือ 49.87% ของพื้นที่ใต้โค้งทั้งหมดอยู่ระหว่าง  กับ  + 3

สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 0 และ z = +1 คือ 0.3413 ทั้งนี้เพราะโค้งมีลักษณะสมมาตร ดังนั้น สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 0 กับ z = -1 ก็คือ 0.3413 ดังนั้นสัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 1 จึงเท่ากับ 0.3413 + 0.3413 = 0.6826 หรือประมาณ 68% ของพื้นที่ทั้งหมด สัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้งระหว่าง z = 2 คือ 0.4772 + 0.4772 = 0.9544 หรือ 95% ของพื้นที่ทั้งหมด สัดส่วนระหว่าง z = 3 คือ 0.4987 + 0.4987 = 0.9974 หรือ 99.74% ของพื้นที่ทั้งหมด พื้นที่ที่อยู่นอกเหนือจากนี้จะมีขนาดเล็กมาก ประมาณ 0.26%

พิจารณาการวัดสัดส่วนของพื้นที่ทั้งหมดที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าค่าที่อยู่บนเส้นแกน X ตัวอย่างจุดที่ z = 1 สัดส่วนของพื้นที่ระหว่างค่าเฉลี่ยกับ z = 1 คือ 0.3413 สัดส่วนพื้นที่ที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยคือ 0.5 สัดส่วนของพื้นที่ที่อยู่ต่ำกว่า z = 1 คือ 0.5 + 0.3413 = 0.8413 สัดส่วนที่อยู่เหนือจุดที่ z = 1 คือ 1.00 - 0.8413 = 0.1587 ดังนั้นการหาพื้นที่ที่อยู่เหนือหรือต่ำกว่าจุดใด ๆ บนแกน X สามารถหาได้ทำนองเดียวกัน
ภาพประกอบ 2 โค้งปกติที่แสดงพื้นที่ภายใต้โค้งระหว่างค่าเฉลี่ยและค่า z ที่แตกต่างกัน

แต่ปัญหาจะมีมากตรงการหาพื้นที่ที่อยู่ระห่างจุด 2 จุดใด ๆ บนแกน X สมมติเราต้องการหาพื้นที่ระหว่าง z = .5 และ z = 1.5 จากตารางการแจกแจงปกติ เราหาสัดส่วนของพื้นที่ระหว่างค่าเฉลี่ยกับ z = 0.5 ได้ .1915 เราหาสัดส่วนของพื้นที่ระหว่างค่าเฉลี่ยกับ z = 1.5 ได้ 0.4332 พื้นที่ระหว่าง z = 0.5 และ z = 1.5 สามารถคำนวณได้โดย 0.4332 - 0.1915 = 0.2417
ภาพประกอบ 3 โค้งปกติที่แสดงพื้นที่ระหว่าง z = .50 และ z = 1.50

เราสามารถหาค่า z เมื่อทราบสัดส่วนของพื้นที่ใต้โค้ง ดังตัวอย่าง ค่า z อยู่เหนื่อและต่ำกว่าค่าเฉลี่ยรวมแล้วมีพื้นที่ 0.95 เราเลือก z ที่อยู่เหนือค่าเฉลี่ยมีสัดส่วนของพื้นที่เป็น 0.475 ของพื้นที่รวมทั้งหมด และ z ที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยมีพื้นที่เป็น 0.475 ของพื้นที่รวมทั้งหมด จากตารางการแจกแจงปกติ เราจะสังเกตค่าสัดส่วนพื้นที่ 0.475 ซึ่งอยู่ระหว่าง z = 0 และ z = 1.96 เมื่อโค้งมีความสมมาตรกัน ดังนั้นสัดส่วนของพื้นที่ 0.475 จะอยู่ระหว่าง z = 0 และ z = 1.96 ด้วย ดังนั้น สัดส่วน 0.95 หรือ 95% นั้นเป็นพื้นที่ที่อยู่ระหว่าง z = 1.96 สัดส่วนพื้นที่ 0.05 หรือ 5% นั้น อยู่นอกเหนือพื้นที่ ในทำนองเดียวกัน ถ้าเราต้องการหาพื้นที่ 99% ของพื้นที่ทั้งหมด เราจะได้ค่า z = 2.58
ภาพประกอบ 4 โค้งปกติที่แสดงค่า z ซึ่งมีพื้นที่เป็นสัดส่วน 0.95 ของพื้นที่ทั้งหมด การคำนวณหาโค้งปกติ

ในสมการโค้งปกติ

ถ้า z = 1.00 ดังนั้น

ดังนั้นความสูงของโค้งเมื่อ z = 1.00 คือ 0.24

หรือถ้า z = .50 ดังนั้น

z-score ที่ 0.5 ความสูงของโค้งปกติคือ 0.35

กราฟของโค้งปกติจะมีความสมมาตรกัน ปลายของโค้งทั้ง 2 จะไม่สัมผัสกับแกน X แต่ปลายของโค้งอยู่ไกลจากค่าเฉลี่ยเป็นอนันต์

แม้ว่าโค้งปกติจะแตกต่างกันไปขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน แต่โค้งปกติที่เป็นมาตรฐานจะมีค่าเฉลี่ยเท่ากับ 0 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ 1 โค้งปกติทั้งหมดสามารถจะทำให้เป็นโค้งปกติมาตรฐานได้โดยการแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนนมาตรฐานเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่า z-score

ถ้ามี z-score ที่ 1.35 และเราต้องหาเปอร์เซ็นต์ที่อยู่ต่ำกว่า z-score ที่ 1.35 ในอันดับแรกเราจะดูที่ตารางการแจกแจงปกติ ซึ่งเราจะอ่านค่าได้ 41.15% ของจำนวนข้อมูลทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง z-score ที่ 1.35 และค่าเฉลี่ย เรารู้ว่า z-score ที่ 1.35 อยู่ทางด้านบวก ดังนั้นเราต้องบวกพื้นที่ทางด้านขวาของค่าเฉลี่ย ยิ่งกว่านั้นเรารู้ว่าจะมี 50% ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย เราจึงต้องรวม 50% กับ 41.15% รวมเป็น 91.15%
ภาพประกอบ 5 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่ต่ำกว่า z = 1.35

ถ้า z-score มีค่าติดลบ เช่น -0.75 ให้ดูตารางการแจกแจงปกติและอ่านค่าเปอร์เซ้นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่าง 0.75 กับค่าเฉลี่ย จะได้ 27.34% เนื่องจากค่า z-score ติดลบและอยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย เราทราบว่ามี 50% ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้นเราจะต้องหัก 27.34 จาก 50% จะได้ 22.66%
ภาพประกอบ 6 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่ต่ำกว่า z = -0.75 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือ z-score

เราต้องการหาเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือ z-score ที่ 1.05 โดยเปิดที่ตารางการแจกแจงปกติ อ่านค่าเปอร์เซ็นต์ที่อยู่ระหว่าง z = 1.05 และค่าเฉลี่ย อ่านค่าได้ 35.31% ซึ่งเป็นพื้นที่ด้านบวก แต่เรารู้ว่า 50% ของข้อมูลทั้งหมดอยู่เหนือค่าเฉลี่ย เราจะหัก 35.31% ออกจาก 14.69%
ภาพประกอบ 7 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่เหนือ z = 1.05

ค่า z-score เป็นลบ -0.085 เราจะดูตารางและอ่านค่า z= 0.85 ได้จำนวน 30.25% ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือ z-score กับค่าเฉลี่ย แต่ยังมีอีก 50% ที่อยู่เหนือค่าเฉลี่ย เราจะเพิ่ม 30.25% ให้กับ 50% จะได้ 80.23% เป็นเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลทั้งหมดที่อยู่เหนือ -0.85
ภาพประกอบ 8 เปอร์เซ็นต์ที่อยู่เหนือ z = -0.085 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z-score

z-score ด้านที่ตรงข้ามกับค่าเฉลี่ย

ตัวอย่าง เราต้องการหาเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score ที่ -1.0 และ +0.50

อันดับแรกเราต้องพิจารณาโค้งปกติและหาตำแหน่ง z-score บนแกน X ถัดมา เปิดตารางการแจกแจงปกติที่ -1.00 จะได้ 34.13% และที่ +0.50 จะได้ 19.15% ซึ่งแต่ละค่าที่เปิดจะเป็นค่าจาก z-score ถึงค่าเฉลี่ย แล้วเราบวกเปอร์เซ็นต์ทั้ง 2 จะได้ 53.28% คือเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score
ภาพประกอบ 9 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = -1.00 และ 0.50

ตัวอย่าง เราต้องการหาจำนวนเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score ที่ -2.0 และ +1.65 หาค่าเปอร์เซ็นต์จากตารางแจกแจงปกติจะได้ 47.72% และ 45.05% แล้วบวกค่าเปอร์เซ็นต์จะได้ 92.77%

ในแต่ละตัวอย่างข้างต้นค่า z-score จะอยู่ด้านตรงข้ามของค่าเฉลี่ย ด้านหนึ่งต่ำกว่าค่าเฉลี่ยและอีกด้านหนึ่งสูงกว่าค่าเฉลี่ย ดังนั้นการหาเปอร์เซ็นต์จะต้องนำเปอร์เซ็นต์ที่ได้จากการเปิดตารางมาวกเข้าด้วยกัน
ภาพประกอบ 10 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = -2.00 และ 1.65

z-score อยู่ด้านเดียวกับค่าเฉลี่ย

ตัวอย่าง ต้องการหาเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score 0.50 และ 1.00

ขั้นแรกหาตำแหน่งของ z-score บนแกน X มี z-score = 0.50 อยู่ทางด้านขวาของค่าเฉลี่ยและ 1.0 อยู่ถัดออกมาทางด้านขวา อ่านค่าเปอร์เซ็นต์จากตารางได้ 19.15% สำหรับค่า z-score ที่ 0.50 และ 34.13% สำหรับ z-score ที่ 1.0 เราพบว่า 34.13% ของข้อมูลอยู่ในพื้นที่จากค่าเฉลี่ยถึง z = 1.0 และ 19.15% อยู่ในพื้นที่จากค่าเฉลี่ยถึง z = 0.50 จะต้องนำ 19.15% หักออกจาก 34.15% จะได้ 14.98% คือจำนวนเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่าง z = 0.50 และ 1.00
ภาพประกอบ 11 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = 0.50 และ 1.00

ตัวอย่าง หาเปอร์เซ็นต์ของคนที่ตกอยู่ระหว่าง 1.50 และ 1.0 จากตารางเปิดได้ 43.32% สำหรับ z-score ที่ 1.50 และ 34.13% สำหรับ z-score ที่ 1.0 นำค่า 34.13 มาหักออกจาก 43.32 จะได้ 9.19% คือเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ระหว่าง z-score ที่ 1.50 และ 1.00
ภาพประกอบ 12 เปอร์เซ็นต์ที่ระหว่าง z = 1.50 และ 1.00 ฝึกแปลงคะแนนมาตรฐาน z

ต่อไปนี้จะนำเสนอตัวอย่างในการแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนนมาตรฐาน z ในแต่ละกรณี

กรณี 1 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่างคะแนนดิบกับคะแนนเฉลี่ย การแจกแจงปกติของคะแนน SAT มีคะแนนเฉลี่ย 440 และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 85 มีคะแนนกี่เปอร์เซ็นต์ที่ตกอยู่ระหว่างคะแนน SAT 500 และค่าเฉลี่ย

เราจะแปลงคะแนนดิบ 500 ให้เท่ากับคะแนน z

จากตารางการแจกแจงปกติที่ 0.71 ได้ค่าพื้นที่ 0.2611 นั่นคือ 26.11% ของคะแนน SAT ตกอยู่ระหว่าง 500 และค่าเฉลี่ย

กรณี 2 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าคะแนนดิบ

ในการแจกแจงปกติ น้ำหนักของกลุ่มเพศชายซึ่งมีคะแนน 170 ปอนด์และส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย 23.17 ปอนด์ มีข้อมูลกี่เปอร์เซ็นต์ที่มีน้ำหนักตกอยู่ต่ำกว่า 200 ปอนด์

เราแปลงคะแนนดิบให้เป็นคะแนน z

คะแนน z มีค่าเป็น + (เหนือค่าเฉลี่ย) โดยนำคะแนน z ไปเปิดตารางได้ค่า 40.15 รวมกับ 50% ที่อยู่ต่ำกว่าค่าเฉลี่ยได้ 90.15% ซึ่งเป็นเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่า 200 ถ้าคะแนน z เป็นลบแล้ว เปอร์เซ็นต์ที่เกิดได้จากตารางจะต้องนำไปลบออกจาก 50

กรณี 3 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือข้อมูลดิบ

การแจกแจงปกติของปริมาณเลือดในโรงพยาบาลมีค่าเฉลี่ย 130 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 9.15 มีกี่เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เนือกว่า 150

เราแปลงคะแนนดิบเป็นคะแนน z ได้ดังนี้

คะแนน z เป็นบวก (เหนือค่าเฉลี่ย) เราเปิดตารางได้ค่า 48.57 ลบกับ 50% ได้ 1.43% เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือกว่า 150 คือ 1.43%

กรณี 4 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่างคะแนนดิบ

การแจกแจงปกติ ความสูงของเพศหญิงมีค่าเฉลี่ย 65 นิ้ว และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 3 นิ้ว มีกี่เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่ระหว่างความสูง 60 และ 63 นิ้ว

เราแปลงคะแนนดิบทั้งคู่นี้เป็นคะแนน z ได้ดังนี้

คะแนน z ทั้ง 2 ค่าเปิดตารางได้ 45.25 และ 24.86 ตามลำดับ ดังนั้นเปอร์เซ็นต์ที่อยู่ระหว่าง 60 และ 63 คือ 45.25% - 24.86% = 20.39% เป็นเปอร์เซ็นต์ข้อมูลที่อยู่ระหว่าง 60 และ 63กฎการแปลงคะแนน z เป็นเปอร์เซ็นต์

1. กรณี 1 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลระหว่างคะแนน z กับค่าเฉลี่ยสามารถเปิดได้โดยตรงจากตารางการแจกแจงปกติ

2. กรณี 2 เปอร์เซ้นต์ของข้อมูลที่อยู่ต่ำกว่าคะแนน z

2.1 ถ้าค่าคะแนน z เป็นบวก ต้องนำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาบวกกับ 50%

2.2 ถ้าค่าคะแนน z เป็นลบ ต้องนำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาลบจาก 50%

3. กรณี 3 เปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่อยู่เหนือกว่าคะแนน z

3.1 ถ้าคะแนน z เป็นบวกต้องนำเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาลบจาก 50%

3.2 ถ้าคะแนน z เป็นลบต้องนำเปอร์เซ็นต์ที่เปิดได้จากตารางมาบวกกัน 50%

4. กรณี 4 เปอร์เซ็นต์ระหว่างคะแนน z 2 ค่า

4.1 ถ้าคะแนน z ทั้ง 2 คู่อยู่ตรงช้ามกันกับค่าเฉลี่ย ให้นำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดจากตารางมาบวกกัน

4.2 ถ้าคะแนน z อยู่ข้างเดียวกับค่าเฉลี่ย ให้นำค่าเปอร์เซ็นต์ที่เปิดจากตารางมาลบกัน โดยนำค่ามากลบด้วยค่าน้อยสรุป

โค้งปกติจะเป็นการแจกแจงความถี่แบบโค้งเดียว (Unimodal) จะมีความสมมาตรอย่างสมบูรณ์ (ค่าเฉลี่ย, มัธยฐาน และฐานนิยม อยู่จุดกึ่งกลางของโค้งเป็นจุดเดียว) และ asymptotic to the abscissa (โค้งปกติที่ปลายโค้งไม่แตะแกน X) สมการของโค้งปกติจะใช้จัดเตรียมโค้ง กับค่าคงที่ที่สัมพันธ์กับส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน เมื่อโค้งถูกพล็อตบนพื้นฐานของหน่วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน มันจะถูกเรียกว่า โค้งส่วนเบี่ยงเบมาตรฐาน ในตารางการแจกแจงโค้งปกติทั้งหมดก็จะเป็นเปอร์เซ็นต์ของพื้นที่ที่มีอยู่ภายใต้โค้งส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

คะแนนมาตรฐาน หรือ z-score เป็นค่าที่แปลงจากคะแนนดิบให้มาอยู่ในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน คะแนนมาตรฐาน z นิยามว่าเป็นระยะห่างของคะแนนดิบจากค่าเฉลี่ย หรือเป็นระยะที่อยู่เหนือกว่าหรือต่ำกว่าค่าเฉลี่ยในหน่วยของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

บรรณานุกรม
Ferguson, George A. and Takane, Yoshio. Statistical Analysis in Psychology and Education. Singapore : McGraw Hill Book Co., 1989.
Guilford, J.P. and Fruchter, Benjamin. Fundamental Statistics in Psychology and Education. Singapore : McGraw Hill Book Co., 1978.
Sprinthall, Richard C. Basic Statistical Analysis. Massachusetts : Allyn and Bacon, 1994.

อ้างอิง : ฉัตรศิริ ปิยะพิมลสิทธิ์. มิถุนายน ๒๕๔๕